Question

在一次投擲硬幣的試驗中，硬幣進入紅盒記2分，進入黑盒記1分，未能進入上述兩盒之一記0分．經過多次試驗后發現，小明投100個硬幣有50個進入紅盒，25個進入黑盒，其余未能入盒．
（1）求小明在5次投擲試驗中，恰有三次進入黑盒的概率；
（2）設小明兩次投擲后得分為ξ，求ξ的分布列和期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）5次投擲中恰有三次進入黑盒可利用n次獨立事件中某事件恰好發生k次的概率公式計算；
（2）由于兩次投擲得分ξ的得分可取值為0，1，2，3，4，分別計算出它們取值的概率，再依據數學期望Eξ的計算公式求解即可．

解答：解（1）“進入紅盒”，“進入黑盒”，“未能入盒”分別記為事件A，B，C．
則P（A）=

50

100

=

1

2

，P（B）=P（C）=

25

100

=

1

4

因每次投擲硬幣為相互獨立事件，故5次投擲中恰有三次進入黑盒的概率為：
P₅（3）=

C

3 5

(

1

4

)3(

3

4

)2=

45

512

（2）兩次投擲得分ξ的得分可取值為0，1，2，3，4則：P（ξ=0）=P（C）P（C）=

1

16

，
P（ξ=1）=

C

1 2

P（B）P（C）=

C

1 2

1

4

×

1

4

=

1

8

，
P（ξ=2）=

C

1 2

P（A）P（C）+P（B）P（B）=2×

1

2

×

1

4

+

1

4

×

1

4

=

5

16

P（ξ=3）=P（A）P（C）=

1

4

；
P（ξ=4）=P（A）P（A）=

1

4

ξ	0	1	2	3	4
P	1 16	1 8	5 16	1 4	1 4

∴Eξ=0×

1

16

+1×

1

8

+2×

5

16

+3×

1

4

+4×

1

4

=

5

2

點評：本題考查n次獨立事件中某事件恰好發生k次的概率、離散型隨機變量的期望與方差求法，屬于基礎題．