Question

【題目】設函數

(I)討論的單調性；

（II）若有兩個極值點和，記過點的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】：（I）的定義域為

令

當故上單調遞增．

當的兩根都小于0，在上，，故上單調遞增．

當的兩根為，

當時，；當時，；當時，，故分別在上單調遞增，在上單調遞減．

（II）由（I）知，．

因為，所以

又由(I)知，．于是

若存在，使得則．即．亦即

再由（I）知，函數在上單調遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得

【解析】

【試題分析】（1）先對函數求導，再運用導數與函數的單調性的關系分析討論函數的符號，進而運用分類整合思想對實數進行分三類進行討論并判定其單調性，求出單調區間；（2）先假設滿足題設條件的參數存在，再借助題設條件，推得，即，亦即

進而轉化為判定函數在上是單調遞增的問題，然后借助導數與函數單調性的關系運用反證法進行分析推證，從而作出判斷：

解：（Ⅰ）定義域為，

，

令，

①當時，，，故在上單調遞增，

②當時，，的兩根都小于零，在上，，

故在上單調遞增，

③當時，，的兩根為，

當時，；當時，；當時，；

故分別在上單調遞增，在上單調遞減.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

因為.

所以,

又由（1）知，，于是，

若存在，使得，則，即，

亦即（）

再由（Ⅰ）知，函數在上單調遞增，

而，所以，這與（）式矛盾，

故不存在，使得.