Question

已知定義在R上的奇函數f（x），滿足f（x-6）=-f（x），且在區間[0，3]上是增函數．若方程f（x）=m（m＞0）在區間[-12，12]上有四個不同的根x₁，x₂，x₃，x₄，則x₁+x₂+x₃+x₄=

-12

．

Answer 1

分析：由條件“f（x-6）=-f（x）”得f（x+12）=f（x），說明此函數是周期函數，又是奇函數，f（x-6）=-f（x）=f（-x）得到對稱軸方程，且在[0，3]上為增函數，由這些畫出示意圖，由圖可解決問題．

解答：解：由f（x-6）=-f（x）得f（x+12）=f（x），故周期為12．
又因為f（x-6）=-f（x）=f（-x）
所以對稱軸為x=3，
此函數是周期函數，又是奇函數，且在[0，3]上為增函數，
綜合條件得函數的示意圖，由圖看出，
四個交點中兩個交點的橫坐標之和為2×（-9），
另兩個交點的橫坐標之和為2×3，
所以x₁+x₂+x₃+x₄=-12．
故答案為：-12．

點評：數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷．