Question

已知A，B是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)長軸的兩個端點，C，D是橢圓上關于x軸對稱的兩點，直線AC，BD的斜率分別為k₁，k₂，且k₁k₂≠0．若|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，則橢圓的離心率為

1

2

．

Answer 1

分析：設A，B兩點的坐標分別為（-a，0），（a，0），CD兩點的坐標分別為（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα），代入兩點之間斜率公式，結合|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，可得a，b的關系，進而求出橢圓的離心率．

解答：解：不妨令A，B兩點的坐標分別為（-a，0），（a，0）
CD兩點的坐標分別為（acosα，bsinα），（acosα，-bsinα）
故k₁=

bsinα

a+acosα

，k₂=

bsinα

a-acosα

，
故|k₁|+|k₂|=

2b

a|sinα|

，
又∵|k₁|+|k₂|的最小值為

3

，
∴

2b

a

=

3

即4b²=3a²
故e=

a2-b2 a2

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題考查的知識點是橢圓的簡單性質，橢圓的離心率，其中根據已知求出a，b的關系是解答的關鍵．