Question

已知且，函數(shù)，，記

（1）求函數(shù)的定義域及其零點；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

（1），0；（2）

【解析】

試題分析：（1）均有意義時，才有意義，即兩個對數(shù)的真數(shù)均大于0.解關(guān)于x的不等式即可得出的定義域，函數(shù)的零點，即，整理得，對數(shù)相等時底數(shù)相同所以真數(shù)相等，得到，基礎(chǔ)x即為函數(shù)的零點（2）即，，應(yīng)分和兩種情況討論的單調(diào)性在求其值域。有分析可知在這兩種情況下均為單調(diào)函數(shù)，所以的值域即為。解關(guān)于m的不等式即可求得m。所以本問的重點就是討論單調(diào)性求其值域。

試題解析：（1）【解析】
（1）（且）

，解得，

所以函數(shù)的定義域為 2分

令，則（*）方程變?yōu)?/span>

，，即

解得， 3分

經(jīng)檢驗是（*）的增根，所以方程（*）的解為，

所以函數(shù)的零點為， 4分

（2）∵函數(shù)在定義域D上是增函數(shù)

∴①當(dāng)時， 在定義域D上是增函數(shù)

②當(dāng)時，函數(shù)在定義域D上是減函數(shù) 6分

問題等價于關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，

∴①當(dāng)時，由（2）知，函數(shù)F（x）在上是增函數(shù)

∴∴只需 解得：或

∴②當(dāng)時，由（2）知，函數(shù)F（x）在上是減函數(shù)

∴ ∴只需 解得： 10分

綜上所述，當(dāng)時：；當(dāng)時，或（12分）

考點：對數(shù)函數(shù)的定義域，函數(shù)的零點，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性