Question

△ABC中，三個內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若B=60°，a=（

3

-1）c．
（1）求角A的大小；
（2）已知當x∈[

π

6

，

π

2

]時，函數f（x）=cos2x+asinx的最大值為3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）用題目中所給的條件建立方程，通過消元得到關于角A的等式，利用它求角A的砰然函數值來，進而求出角．
（2）題目中知道了最大值為3，利用f_max=3建立相關的方程，此處要用二次函數在某一個確定區間上的最值問題的相關知識來最值為3的條件轉化為參數a的方程來求值，進而再由面積公式求出三角形的面積，

解答：解：（1）因為B=60°，所以A+C=120°，C=120°-A
∵a=（

3

-1）c，由正弦定理可得：sinA=（

3

-1）sinC
sinA=（

3

-1）sin（120°-A）=（

3

-1）（sin120°cosA-cos120°sinA）
=（

3

-1）（

3

2

cosA+

1

2

sinA）
整理得，tanA=1
∴A=45°．
（2）f（x）=1-2sin²x+asinx，令t=sinx，
∵x∈[

π

6

，

π

2

]，
∴t∈[

1

2

，1]
f（x）=g（t）=-2t²+at+1=-2（t-

a

4

）²+

a2

8

+1，t∈[

1

2

，1]
若

a

4

＜

1

2

，即a＜2
f_max=g（

1

2

）=

1

2

a+

1

2

=3，，故a=5（舍去）
若

1

2

≤

a

4

≤1即2≤a≤4，
f_max=g（

a

4

）=

a2

8

+1=3，得a=3
若

a

4

＞1，即a＞4，
f_max=g（

1

2

）=1-2+a=a-1=3，得a=4（舍去）
故a=4，S_△ABC=6+2

3

．

點評：本題考查了正弦定理，角的變換，三角轉化為函數，利用函數的相關知識得到關于最值3的方程，求參數求最值，方法靈活，技巧性很強，是一道能訓練答題都靈活答題能力的好題