Question

已知函數(shù)，；
(Ⅰ)若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(Ⅱ)令，是否存在實(shí)數(shù)，當(dāng) (是自然對數(shù)的底數(shù))時(shí)，函數(shù)的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)來求；（Ⅱ）利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，進(jìn)而求最值.
試題解析：（Ⅰ）若函數(shù)在[1,2]上是減函數(shù)，
則在[1,2]上恒成立
令h(x)＝2x²＋ax－1，x∈[1,2]，∴h(x)≤0在[1,2]上恒成立
∴得，∴a≤            6分
（Ⅱ）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使g(x)＝f(x)－x²，x∈(0，e]有最小值3
g(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]，g′(x)＝a－＝ 
①當(dāng)a≤0時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減
∴g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去)
②當(dāng)0<<e即a>時(shí)，在(0，)上，g′(x)<0；在(，e]上，g′(x)>0
∴g(x)在(0，]上單調(diào)遞減，在(，e]上單調(diào)遞增
∴g(x)_min＝g＝1＋lna＝3，∴a＝e²滿足條件
③當(dāng)≥e即0<a≤時(shí)，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上單調(diào)遞減
g(x)_min＝g(e)＝ae－1＝3
∴a＝> (舍去)
綜上所述，存在a＝e²使得當(dāng)x∈(0，e]時(shí)，g(x)有最小值3     .15分