Question

如圖，在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，PC=PD=CD=2.
（I）求證：PD⊥BC；
（II）求二面角B—PD—C的正切值。

Answer 1

見解析

解決立體幾何問題的，主要有兩個策略，一是不建立坐標系，直接利用空間向量基本定理，即將有關向量用空間一組基底表示出來，然后通過向量的有關運算求解；二是建立空間坐標系，通過向量的坐標運算解決問題
方法一：
（I）證明：∵平面PCD⊥平面ABCD，又∵平面PCD∩平面ABCD=CD，BC在平面ABCD內 ，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD.∴PD⊥BC.    …………6分
（II）解：取PD的中點E，連接CE、BE，

為正三角形，
由（I）知BC⊥平面PCD，∴CE是BE在平面PCD內的射影，∴BE⊥PD.
∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角.       …………9分
在         …………12分
方法二：（I）證明：取CD的中點為O，連接PO，

∵PD=PC，∴PO⊥CD，∵平面PCD⊥平面ABCD，
平面PCD∩平面ABCD=CD，∴PO⊥平面ABCD，如圖，在平面ABCD內，過O作OM⊥CD交AB于M，以O為原點，OM、OC、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系O—xyz，
由B（2，1，0），C（0，1，0），D（0，-1，0），     …………4分
…6分
（II）解：取PD的中點E，連接CE、BE，則為正三角形，為二面角B—PD—C的平面角.