Question

【題目】奇函數f（x）定義域為（﹣π，0）∪（0，π），其導函數是f′（x）．當0＜x＜π時，有f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，則關于x的不等式f（x）＜ f（ ）sinx的解集為（ ）
A.（ ，π）
B.（﹣π，﹣ ）∪（ ，π）
C.（﹣ ，0）∪（0， ）
D.（﹣ ，0）∪（ ，π）

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設g（x）= ，
∴g′（x）= ，
∵f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函數，
故g（﹣x）= = =g（x）
∴g（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函數．
∵當0＜x＜π時，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調遞減，
∴g（x）在（﹣π，0）上單調遞增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）= =0，
∵f（x）＜ f（ ）sinx，即g（ ）＞g（x）；
①當sinx＞0時，即x∈（0，π），所以x∈（ ，π）；
②當sinx＜0時，即x∈（﹣π，0）時，g（ ）=g（﹣ ）＜g（x）；
所以x∈（﹣ ，0）；
即不等式f（x）＜ f（ ）sinx的解集為解集為（﹣ ，0）∪（ ，π），
故選：D
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．