Question

如圖，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=90°，P、Q分別為DE、AB的中點．
（1）求證：PQ∥平面ACD；
（2）求幾何體B-ADE的體積．

Answer 1

解：
（1）證明：取BC的中點O，∵P、Q分別為DE、AB的中點，則OQ是△ABC的中位線，∴OQ∥AC，OQ∥面ACD．
∵EB∥DC，∴OP是梯形BCDE的中位線，∴OP∥CD，OP∥面ACD．
這樣，面POQ中，由兩條相交直線 OQ、OP都和面ACD 平行，∴面OPQ∥面ACD，∴PQ∥平面ACD．
（2）由EB∥DC 可得DC∥面ABE，故D、C兩點到 面ABE的距離相等，
∴B-ADE的體積V_B-ADE=V_D-ABE=V_C-ABE． C到AB的距離等于 ==．
V_C-ABE=（•AB•BE）•=．故幾何體B-ADE的體積為 ．
分析：（1）由OQ是△ABC的中位線，可得OQ∥AC，OQ∥面ACD；由OP是梯形BCDE的中位線，得OP∥CD，OP∥面ACD，由面OPQ∥面ACD，得到 PQ∥平面ACD．
（2）D、C兩點到 面ABE的距離相等，故V_B-ADE=V_D-ABE=V_C-ABE，故求出V_C-ABE即為所求．
點評：本題考證明查線面平行的方法，求三棱錐的體積，把求B-ADE的體積轉化為求 V_C-ABE是解題的難點．