Question

若函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.
（1）判斷下列函數：①；②中，哪些是等比源函數？（不需證明）
（2）證明：函數是等比源函數；
（3）判斷函數是否為等比源函數，并證明你的結論.

Answer 1

（1）①②都是等比源函數；（2）參考解析；（3）參考解析

試題分析：（1）函數滿足：集合中至少存在三個不同的數構成等比數列，則稱函數是等比源函數.由等比源函數的定義可知.令x=1,2,4.即可得函數對應的三項為等比數列.令x=10,100,10000即可得函數對應的三項成等比數列.所以①②都是等比源函數.
（2）由函數，通過列舉三項即可得到證明.
（3）函數，不是等比源函數.假設存在三項使得函數是等比源函數，利用等比數列的等比通項的知識，以及奇偶性的知識即可得到函數，不是等比源函數.
試題解析：（1）①②都是等比源函數；4分
（2）證明：，，
因為成等比數列
所以函數是等比源函數；10分
其他的數據也可以
（3）函數不是等比源函數.證明如下：
假設存在正整數且，使得成等比數列，
，整理得，
等式兩邊同除以得.
因為，所以等式左邊為偶數，等式右邊為奇數，
所以等式不可能成立，
所以假設不成立，說明函數不是等比源函數.18分