Question

已知數列{a_n}的前n項的和為S_n，且S_n=2n+7-2a_n．
（1）求證：{a_n-2}為等比數列；
（2）是否存在實數k，使得a_n≤n³+kn²+9n對于任意的n∈N^*都成立，若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）n=1時，a₁=S₁=2+7-2a₁，解得a₁=3．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2-2a_n+2a_n-1，
即3a_n=2a_n-1+2，
∴，
∴{a_n-2}是首項為1，公比為的等比數列．
（2）由（1）知，
∴，
由2+（）^n-1≤n³+kn²+9n，
得．
∴只需求出的最大值即可．
設，，，
∵n∈N^*，∴f（n）單調遞減．
∵
=，
∴g（n）＜g（n+1），
故g（n）單調遞減．
=，
當n≥3時，h（n）＞h（n+1），
故n≥3時，h（n）單調遞減．
∴n≥3時，隨著n的增大而減小，
∵p（1）=-7，，，
∴p（n）的最大值為p（3）=-．
故k≥．
分析：（1）由n=1，解得a₁=3．由n≥2，得3a_n=2a_n-1+2，故，由此能夠證明{a_n-2}是首項為1，公比為的等比數列．
（2）由，知，由2+（）^n-1≤n³+kn²+9n，得．故只需求出的最大值即可得到k范圍．
點評：本題考查等比數列的證明和數列與不等式的綜合運用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點，易錯點是判斷最大值時因解題能力差導致失誤．解題時要認真審題，仔細解答，注意提高解題能力．