Question

【題目】已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時， ．
（1）求f（x）的表達式；
（2）判斷并證明函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是奇函數，

∴對定義域R內任意的x，都有f（﹣x）=﹣f（x）

令x=0得，f（0）=﹣f（0），即f（0）=0

又當x＞0時，﹣x＜0，此時

綜合可得：

（2）解：函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數，下面給予證明．

設0＜x1＜x2，則

=

∵0＜x1＜x2，

∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）

故函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數

【解析】（1）易得f（0）=0，令x＞0，則﹣x＜0，代入已知結合函數的奇偶性可得解析式；（2）函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數，可用定義法證明．
【考點精析】本題主要考查了函數單調性的判斷方法的相關知識點，需要掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較才能正確解答此題．