Question

【題目】設函數.

（1）當時，求函數的最大值；

（2）令，（）其圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數的取值范圍；

（3）當，，方程有唯一實數解，求正數的值．

Answer 1

【答案】

（3）因為方程有唯一實數解，

所以有唯一實數解，

設，

則．令，．

因為，，所以（舍去），

，

當時，，在（0，）上單調遞減，

當時，，在（，+∞）單調遞增

當時，=0，取最小值．（12′）

【解析】

(1)利用導數求函數的單調區間即得函數的最大值.(2)由題得，.再求右邊二次函數的最大值即得.(3)轉化為有唯一實數解，設，再研究函數在定義域內有唯一的零點得解.

(1)依題意，知的定義域為，

當時，，

，

令，解得.(∵)

因為 有唯一解，所以，當時，，此時單調遞增；

當時，，此時單調遞減，

所以的極大值為，此即為最大值.

(2)，，則有，在上恒成立，

所以，.

當時，取得最大值，所以.

(3)因為方程有唯一實數解，

所以有唯一實數解，

設，

則，令，，

因為，，所以(舍去)，，

當時，，在上單調遞減；

當時，，在上單調遞增；

當時，，取最小值.

則，即，

所以，因為，所以(*)

設函數，因為當時，

是增函數，所以至多有一解，

因為，所以方程(*)的解為，即，解得.