Question

【題目】將函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），再將所得的圖象向左平移 個單位長度后得到函數f（x）的圖象
（1）寫出函數f（x）的解析式；
（2）若對任意的x∈[﹣ ， ]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求實數m的取值范圍；
（3）求實數a和正整數n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017個零點．

Answer 1

【答案】
（1）解：把函數y=sinx的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的 倍（縱坐標不變），可得y=sin2x的圖象；

再將所得的圖象向左平移 個單位長度后得到函數f（x）=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的圖象，

故函數f（x）的解析式為 f（x）=sin（2x+ ）．

（2）解：若對任意的x∈[﹣ ， ]，2x+ ∈[0， ]，f（x）=sin（2x+ ）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，

令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，故有g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．

（3）解：∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017個零點，故f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個交點．

在[0，π]上，2x+ ∈[ ， ]．

①當a＞1，或a＜﹣1時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上無交點．

②當a=1，或a=﹣1時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]僅有一個交點，

此時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個交點，則n=2017．

③當﹣1＜a＜ ，或 ＜a＜1時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有2個交點，

f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有偶數個交點，不會有2017個交點．

④當a= 時，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有3個交點，

此時，n=1008，才能使f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有2017個交點．

綜上可得，當a=1，或a=﹣1時，n=2017；當a= 時，此時，n=1008．

【解析】（1）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，求得f（x）的解析式．（2）令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，再根據二次函數的性質可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的范圍．（3）由題意可得f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個交點，分類討論，求得a、n的值．
【考點精析】認真審題，首先需要了解函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換(圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象)．