Question

（14分）已知在數列｛a_n｝中，a₁=t，a₂=t²，其中t>0，x=是函數f(x)=a_n-1x³-3[(t+1)a_n-a_n+1]x+1   (n≥2)的一個極值點（Ⅰ）求數列｛a_n｝的通項公式
（Ⅱ）當時，令，數列前項的和為，求證：
（Ⅲ）設，數列前項的和為，求同時滿足下列兩個條件的的值：（1） （2）對于任意的，均存在，當時，

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ） 

：（Ⅰ）由題意得：f′()="0 " 即3a_n-1t-3[(t+1)a_n-a_n+1]=0
故a_n+1-a_n=t(a_n-a_n-1)(n≥2)      則當t≠1時，數列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項          t為公比的等比數列  ∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1 由a_n+1-a_n=a₁+(a₂-a₁)+(a₃-a₂)+…+(a_n-a_n-1)         =t+(t²-t)[1+t+t²+…+t^n-2] =t+(t²-t)· =tⁿ此式對t=1也成立∴a_n=tⁿ (n∈N)
（Ⅱ）    
（Ⅲ） （1）當 時，由Ⅱ得

取，當時，
（2）當時，，所以
 
取因為，不存在，使得當時，
（3）當時，，
，由（1）可知存在，當時
，故存在，當時，

綜上，