Question

若函數滿足：在定義域內存在實數，使(k為常數)，則稱“f（x）關于k可線性分解”．

（Ⅰ）函數是否關于1可線性分解?請說明理由；

（Ⅱ）已知函數關于可線性分解，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明不等式：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）是關于1可線性分解；（Ⅱ）a的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數是否關于1可線性分解，關鍵是看是否存在使得成立，若成立，是關于1可線性分解，否則不是關于1可線性分解，故看是否有解，構造函數，看它是否有零點，而，觀察得，，有根的存在性定理可得存在，使；（Ⅱ）先確定定義域為，函數關于可線性分解，即存在，使，即有解，整理得有解，即，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）證明不等式：，當時，，對求導，判斷最大值為，可得，分別令，疊加可得證結論．

試題解析：（Ⅰ）函數的定義域是R，若是關于1可線性分解，

則定義域內存在實數，使得．

構造函數

．

∵，且在上是連續的，

∴在上至少存在一個零點．

即存在，使．             4分

（Ⅱ）的定義域為．

由已知，存在，使．

即．

整理，得，即．

∴，所以．

由且，得．

∴a的取值范圍是．                   9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，a =1，，．

當時，，所以的單調遞增區間是，當時，，所以的單調遞減區間是，因此時，的最大值為，所以，即，因此得：，，，，，以上各式相加得：，即，所以，即．                 １４分

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用．