Question

已知函數y=f（x）的定義域為R，且f（-x）=-f（x），當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，0）上的解析式；（2）求證：f（x）在（0，1）上是減函數．

Answer 1

分析：（1）x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），從而有f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，再由f（-x）=-f（x）即可求得f（x）在（-1，0）上的解析式；
（2）利用單調性的定義證明即可．先設0＜x₁＜x₂＜1，再作差f（x₁）-f（x₂）化積后判斷即可．

解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x），x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

，
∴當x∈（-1，0）時，f(x)=-f(-x)=-

2x

4x+1

；
（2）證明：設0＜x₁＜x₂＜1，則

f(x1)-f(x2)= 2x1 4x1+1 - 2x2 4x2+1 = 2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1) (4x1+1)(4x2+1)

=

2x1+x2(2x2-2x1)+(2x1-2x2)

(4x1+1)(4x2+1)

═

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴2x1-2x2＜0，1-2x1+x2＜0，4x1+1＞0，4x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，1）是減函數．

點評：本題考查函數單調性的判斷與證明，難點在于（2）的證明，著重考查轉化與復雜的運算能力，屬于難題．