Question

已知函數（x∈R）的圖象為曲線C．
（1）求過曲線C上任意一點的切線斜率的取值范圍；
（2）若在曲線C上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍；
（3）證明：不存在與曲線C同時切于兩個不同點的直線．

Answer 1

【答案】分析：（1）據切點處的導數值為曲線切線斜率，求導函數的范圍也就是切線斜率范圍．
（2）互相垂直的切線斜率互為負倒數，由（1）求斜率范圍，據切點處的導數值為曲線切線斜率，求切點橫坐標范圍．
（3）據切點處的導數值為曲線切線斜率，求出兩切點處的兩條直線，它們的斜率相等和縱截距得矛盾．
解答：解：（1）f′（x）=x²-4x+3，
則f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即過曲線C上任意一點的切線斜率的取值范圍是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，
解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：；
（3）設存在過點A（x₁，y₁）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x₂，y₂），x₁≠x₂
，則切線方程是：y-=（x₁²-4x₁+3）（x-x₁），
化簡得：y=（x₁²-4x₁+3）x
而過B（x₂，y₂）的切線方程是y=（x₂²-4x₂+3）x，
由于兩切線是同一直線，
則有：x₁²-4x₁+3=x₂²-4x₂+3，得x₁+x₂=4，
又由=，
即-+2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-，即x₁（x₁+x₂）+x₂²-12=0
即（4-x₂）×4+x₂²-12=0×4+x₂²-12=0，x₂²-4x₂+4=0
得x₂=2，但當x₂=2時，由x₁+x₂=4得x₁=2，這與x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點．
點評：考查切點處的導數值為曲線切線斜率，同一條直線斜率和縱截距相等，與解不等式、方程結合解題．