Question

設x，y∈R，i，j為直角坐標平面內x，y軸正方向上的單位向量，若向量，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8．
（1）求點M（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點（0，3）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設是否存在這樣的直線l，使得四邊形OAPB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

見解析

解：（1）∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j，且|a|＋|b|＝8 ∴點M（x，y）到兩個定點F₁（0，－2），F₂（0，2）的距離之和為8 ∴點M的軌跡C為F₁、F₂為焦點的橢圓，其方程為
（2）∵l過y軸上的點（0，3），若直線l是y軸，則A、B兩點是橢圓的頂點，這時。
∴P與O重合，與四邊形OAPB是矩形矛盾，
∴直線l的斜率存在，設l的方程為y＝kx＋3，A（x₁，y₁），B(x₂，y₂)
由恒成立．
且
∵，∴四邊形OAPB是平行四邊形
若存在直線l使得四邊形OAPB是矩形，則OA⊥OB，即
∵
即∴存在直線使得四邊形OAPB為矩形．