Question

（2010•濟南一模）已知函數f(x)=sin(ωx+?)，其中ω＞0，|φ|＜

π

2

|，若a=(1，1)，b=(cos?，-sinφ)，且

a

⊥

b

，又知函數
f（x）的周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位得到g（x）的圖象，求g（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）根據所給的兩個向量垂直，得出它們的數量積為0，求出φ值，再根據周期公式求出ω，最后寫出函數的解析式．
（2）根據函數的圖象的平移的原則，寫出新的函數的解析式，根據正弦曲線的單調區間寫出函數的單調遞增區間．

解答：解：（1）∵

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=0…（1分）
∴

a

•

b

=cosφ-sinφ=

2

(

2

2

cosφ-

2

2

sinφ)=

2

cos(φ+

π

4

)=0…（3分）
∴φ+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈Z，
即φ=kπ+

π

4

，k∈Z．
又∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．…（5分）
∵函數f（x）的周期T=π，即

2π

ω

=π，ω=2．
∴解析式為f(x)=sin(2x+

π

4

)…（6分）
（2）由題意知，函數f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位得到g（x）的圖象
∴g(x)=sin[2(x-

π

6

)+

π

4

]=sin(2x-

π

12

)…（8分）
∴g（x）的單調遞增區間為2kπ-

π

2

≤2x-

π

12

≤2kπ+

π

2

，k∈Z
解得kπ-

5π

24

≤x≤kπ+

7π

24

，k∈Z，…（10分）
∴g（x）的單調遞增區間為[kπ-

5π

24

，kπ+

7π

24

](k∈Z)…（12分）

點評：本題主要考查了數量積判斷兩個平面向量的垂直關系、正弦函數的單調性和函數的圖象的平移，本題解題的關鍵是正確寫出函數的解析式，這是后面解題的依據，本題是一個中檔題目．