Question

已知函數f(x)＝4x³＋3tx²－6t²x＋t－1，x∈R，其
中t∈R.
①當t＝1時，求曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；
②當t≠0時，求f(x)的單調區間．

Answer 1

①6x＋y＝0②在上遞增，上遞減，(－t，＋∞)上遞增．

①t＝1時，f(x)＝4x³＋3x²－6x，f′(x)＝12x²＋6x－6，f′(0)＝－6，又f(0)＝0.
∴曲線y＝f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y－0＝－6(x－0)，即6x＋y＝0.
②t≠0時，f′(x)＝12x²＋6tx－6t²＝6(2x²＋tx－t²)＝6(x＋t)(2x－t)．若t>0，則由f′(x)>0得x<－t或x>，f′(x)<0得－t<x<，
∴f(x)在(－∞，－t)上遞增，在上遞減．在上遞增，
若t<0，則由f′(x)>0得x<或x>－t，由f′(x)<0得<x<－t.
∴f(x)在上遞增，上遞減，(－t，＋∞)上遞增．