Question

某公園舉辦雕塑展覽吸引著四方賓客．旅游人數x與人均消費t（元）的關系如下：x=

-12t+1600    (10≤t≤50，t∈N) -6t+1300    (50＜t≤200，t∈N).

（1）若游客客源充足，那么當天接待游客多少人時，公園的旅游收入最多？
（2）若公園每天運營成本為5萬元（不含工作人員的工資），還要上繳占旅游收入20%的稅收，其余自負盈虧．目前公園的工作人員維持在40人．要使工作人員平均每人每天的工資不低于100元，并維持每天正常運營（不負債），每天的游客人數應控制在怎樣的合理范圍內？（注：旅游收入=旅游人數×人均消費）

Answer 1

分析：（1）旅游收入=旅游人數×人均消費，把旅游人數x與人均消費t的分段函數式代入計算即可；
（2）考慮公園每天運營的最低成本=40×100+50000=54000，可排除第一種情況；第二種情況應滿足：旅游收入×80%≥54000，求出t的范圍，從而得出旅游人數x的范圍．

解答：解：（1）設當天的旅游收入為L，那么L=xt，得L=

-12t2+1600t  (10≤t≤50，t∈N) -6t2+1300t  (50＜t≤200，t∈N)

；
當10≤t≤50時，L=-12t²+1600t≤-12×50²+1600×50=50000（元），
當50＜t≤200時，L=-6t2+1300t=-6(t-

325

3

)2+

211250

3

，
∵t∈N，∴當t=108元時，L_max=70416（元），此時x=652（人）；
故當天接待旅游人數為652人時旅游收入最多，最多收入為70416元．
（2）要使工作人員平均每人每天的工資不低于100元，并維持每天正常運營，即每天的旅游收入上繳稅收后
不低于54000元，因（-12t²+1600t）_max=50000≤54000，（10≤t≤50），顯然不滿足條件；
由（-6t²+1300t）×80%≥54000，得3t²-650t+33750≤0，（50＜t≤200），∴87≤t≤130；
此時旅游人數x滿足：520≤x≤778，故每天的游客人數應控制在520人到778人之間．

點評：本題利用分段函數模型考查了實際應用問題，二次函數的最值，一元二次不等式的解法等，是中檔題．