Question

已知函數f(x)=sin(ωx+

π

4

)(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π，現將f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍得到新的函數g（x），則g（x）的單調減區間為

[-

π

4

+2kπ，

3

4

π+2kπ]（k∈N）

．

Answer 1

分析：由函數的周期求出ω的值，根據函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換求出g（x）的解析式，從而求出它的單調區間．

解答：解：由函數f(x)=sin(ωx+

π

4

)(x∈R，ω＞0)的最小正周期為π可得

2π

ω

=π，∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+

π

4

）．
現將f（x）的圖象向左平移

π

4

個單位，可得函數y=sin[2（x+

π

4

）+

π

4

]=sin（2x+

3π

4

） 的圖象，
再保持縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍得到函數y=sin（x+

3π

4

） 的圖象，故g（x）=sin（x+

3π

4

）．
令 2kπ+

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，可得2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

，
故g（x）的單調減區間為 [-

π

4

+2kπ，

3

4

π+2kπ]，
故答案為 [-

π

4

+2kπ，

3

4

π+2kπ]，（k∈N）．

點評：本題主要考查三角函數的單調性性，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．