Question

【題目】已知函數(shù) .

(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若，則當時，函數(shù)的圖象是否總在直線上方？請寫出判斷過程.

Answer 1

【答案】(1)見解析.

(2)見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（2）令g（x）=x，討論m的范圍，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，結(jié)合函數(shù)恒成立分別判斷即可證明結(jié)論．

(1)函數(shù)定義域為，

.

①當，即時，,此時在上單調(diào)遞增；

②當，即，

時，，此時單調(diào)遞增，

時，，此時單調(diào)遞減，

時，，此時單調(diào)遞增.

③當，即時，，，此時單調(diào)遞增，

時，，此時單調(diào)遞減，

時，，此時單調(diào)遞增.

綜上所述，①當時，在上單調(diào)遞增，

②當時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

③當時，在 和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

(2)當時，由(1)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

令.

①當時，，所以函數(shù)圖象在圖象上方.

②當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以其最小值為，最大值為，所以下面判斷與的大小，即判斷與的大小，

其中，

令，

令，則，

因，所以，單調(diào)遞增；

所以，故存在，

使得，

所以在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

所以，

所以時，，

即，也即，

所以函數(shù)的圖象總在直線上方.