Question

（09年濟寧一中反饋練習二）（14分）設，數列的前項和為，且在數列中，，

   （1）分別求數列，的通項公式；

   （2）若，求數列的前項和；

   （3）記的前項和為，試比較與2的大小，并證明。

    注：文科做（1）、（2），理科做（1）、（2）、（3）。

 

Answer 1

解析：①由已知

   

    又也滿足上式

   

    又

   

   

   

   

    是以1為首項，2為公比的等比數列

   

   

       ②

   

   

   

   

   

   

   

   

       ③B_n=b₁+b₂+…+b_n

    =1+2+…+2^n-1+n=2ⁿ+n-1

    2A_n=2n²

    n=1時，2A₁=2，B₁=2    ∴A₁=B₁

    n=2時，2A₂=8>B₂=5

    n=3時，2A₃=18>B₃=10

    n=4時，2A₄=32>B₄=19

    n=5時，2A₅=50>B₅=36

    n=6時，2A₆=72>B₆=69

    猜想時，B_n>2A_n，下面用數學歸納法證明

   （i）n=7時，B₇+2⁷+7-1=134，2A₇=98

    ∴B₇>2A₇

   （ii）假設n=k（k≥7）時，不等式成立

    B_k>2A_k

    即2^k+k-1>2k²

    ∴2^k>2k²-k+1

    那么n=k+1時,B_k+1=2^k+1+k+1-1=2?2^k+k

    >2?(2k²-k+1)+k=4k²-k+2

    又4k²-k+2-2(k+1)²=2k²-5k=k(2k-5)

由k≥7知，2k-5>0

∴k(2k-5)>0

即4k²-k+2-2(k+1)²>0

    ∴4k²-k+2>2(k+1)²=A_k+1

∴B_k+1>2 A_k+1

∴n=k+1時，不等式也成立

由（i）（ii）可知，對n≥7(n∈N^*)都有B_n>2A_n