Question

設曲線C_n：f（x）=xⁿ⁺¹（n∈N^*）在點P(-

1

2

，f(-

1

2

))處的切線與y軸交于點Q_n（0，y_n）．
（Ⅰ）求數列{y_n}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{y_n}的前n項和為S_n，猜測S_n的最大值并證明你的結論．

Answer 1

分析：（I）欲求數列{y_n}的通項公式，只須求出切線與y軸的交點坐標即可，故先利用導數求出在x=-

1

2

處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率進而求出切線方程最后得到與y軸交點坐標．從而問題解決．
（II）根據所求數列的特點，采用錯位相消法求出數列{y_n}的前n項和為S_n，再算出它的前幾項觀察此數列的最大值，最后對n進行分類討論：當n為奇數時；當n為偶數時．進行證明即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=（n+1）xⁿ（n∈N^*），（1分）
∴點P處的切線斜率kn=(n+1)(-

1

2

)n，（2分）
∴切線方程為：y-(-

1

2

)n+1=(n+1)(-

1

2

)n(x+

1

2

)，（3分）
令x=0得：yn=(-

1

2

)n+1+

n+1

2

•(-

1

2

)n，
故數列{y_n}的通項公式為：yn=

n

2

•(-

1

2

)n．（4分）
（Ⅱ）Sn=

1

2

•(-

1

2

)+

2

2

•(-

1

2

)2+

3

2

•(-

1

2

)3++

n

2

•(-

1

2

)n①
兩邊同乘-

1

2

得：-

1

2

•Sn=

1

2

•(-

1

2

)2+

2

2

•(-

1

2

)3+

3

2

•(-

1

2

)4++

n

2

•(-

1

2

)n+1②
∴得：

3

2

•sn=

1

2

•(-

1

2

)+

1

2

•(-

1

2

)2+

1

2

•(-

1

2

)3++

1

2

•(-

1

2

)n-

n

2

•(-

1

2

)n+1（6分）
∴3Sn=(-

1

2

)+(-

1

2

)2+(-

1

2

)3++(-

1

2

)n-n•(-

1

2

)n+1
=

- 1 2 -(- 1 2 )n+1

1+ 1 2

-n•(-

1

2

)n+1
=-

1-(- 1 2 )n

3

-n•(-

1

2

)n+1
∴Sn=

1

9

[

2+3n

2

•(-

1

2

)n-1]（8分）
其中S1=y1=-

1

4

，S₂=y₁+y₂=0，S3=-

3

16

，S4=-

1

16

猜測S_n的最大值為S₂=0．證明如下：（10分）
（i）當n為奇數時，Sn=-

1

9

[

2+3n

2

•(

1

2

)n+1]＜0；（11分）
（ii）當n為偶數時，Sn=

1

9

•(

2+3n

2n+1

-1)，
設h(n)=

2+3n

2n+1

，則h(n+2)=

8+3n

2n+3

．
h(n+2)-h(n)=

8+3n

2n+3

-

2+3n

2n+1

=-

9n

2n+3

＜0，
∴h（n+2）＜h（n）．（13分）
故h(n)=

2+3n

2n+1

的最大值為h（2）=1，即S_n的最大值為S₂=0．（14分）
解法2（Ⅱ）任意k∈N^*，都有y_2k-1＜0，y_2k＞0；
所以S_n的最大值就是S_2k的最大值．
令ak=y2k-1+y2k=

1-k

4k

，顯然a₁=0，k＞1，a_k＜0，
所以S_2k=a₁+a₂++a_k的最大值是S₂=a₁=0．

點評：本小題主要考查利用導數研究曲線上某點切線方程、數列的求和、數列遞推式等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于中檔題．