Question

如圖，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），…是曲線上的點，A₁（a₁，0），A₂（a₂，0），…，A_n（a_n，0），…是x軸正半軸上的點，且△A₀A₁P₁，△A₁A₂P₂，…，△A_n-1A_nP_n，…均為斜邊在x軸上的等腰直角三角形（A₀為坐標原點）．
（1）寫出a_n-1、a_n和x_n之間的等量關系，以及a_n-1、a_n和y_n之間的等量關系；
（2）猜測并證明數列{a_n}的通項公式；
（3）設，集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n，…}，A={x|x²-2ax+a²-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求實常數a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）依題意利用等腰直角三角形的性質可得，，．…（4分）
（2）由得 =，
即，猜測． …（2分）
證明：①當n=1時，可求得，命題成立； …（1分）
②假設當n=k時，命題成立，即有，…（1分）
則當n=k+1時，由歸納假設及，
得，
即
解得，（不合題意，舍去），
即當n=k+1時，命題成立． …（3分）
綜上所述，對所有n∈N^*，． …（1分）
（3）==．…（2分）
因為函數在區間[1，+∞）上單調遞增，且，
所以．…（2分）
A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}={x|x∈（a-1，a+1）}
由A∩B=φ，有a+1≤0，或，
故，，即 實常數a的取值范圍為．…（2分）
分析：（1）依題意利用等腰直角三角形的性質可得，，．
（2）由得 =，即，猜測，
再用數學歸納法進行證明．
（3）用裂項法求得的值為，由函數在區間
[1，+∞）上單調遞增，且，求得，再由 A={x|x²-2ax+a²-1＜0，a∈R}=
{x|x∈（a-1，a+1）}，A∩B=φ，有a+1≤0，或，由此求得實常數a的取值范圍．
點評：本題主要考查數學歸納法的應用，用裂項法對數列求和，兩個集合的交集的定義的應用，屬于難題．