Question

已知橢圓+=1經過點P（，），離心率是，動點M（2，t）（t＞0）
（1）求橢圓的標準方程；
（2）求以OM為直徑且別直線3x-4y-5=0截得的弦長為2的圓的方程；
（3）設F是橢圓的右焦點，過點F做OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，證明線段ON長是定值，并求出定值．

Answer 1

解：（1）∵橢圓+=1經過點P（，），
離心率是，
∴橢圓方程設為，
把點P（，）代入，
得，
解得4k²=2，
∴橢圓的標準方程是．
（2）以OM為直徑的圓的圓心是（1，），
半徑r=，
方程為，
∵以OM為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，
∴圓心（1，）到直線3x-4y-5=0的距離d=，
∴，
解得t=4，
∴所求圓的方程是（x-1）²+（y-2）²=5．
（3）設N（x₀，y₀），
點N在以OM為直徑的圓上，
所以x₀（x₀-2）+y₀（y₀-t）=0，
即：x₀²+y₀²=2x₀+ty₀，
又N在過F垂直于OM的直線上，
所以，
即2x₀+ty₀=2，
所以．
分析：（1）由橢圓+=1離心率是，設橢圓方程設為，把點P（，）代入，得，由此能求出橢圓的標準方程．
（2）以OM為直徑的圓的圓心是（1，），半徑r=，方程為，由以OM為直徑圓直線3x-4y-5=0截得的弦長為2，知，由此能求出所求圓的方程．
（3）設N（x₀，y₀），點N在以OM為直徑的圓上，所以x₀²+y₀²=2x₀+ty₀，又N在過F垂直于OM的直線上，所以2x₀+ty₀=2，由此能求出ON．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答．