Question

（本小題滿分14分）

已知三次函數圖象上點（1，8）處的切線經過點（3，0），并且在x=3處有極值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若當x∈（0，m）時，>0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f（x）圖象過點（1，8），∴a−5+c+d=8，即a+c+d=13  ①    （2分）

又f^/（x）=3ax²−10x+c，且點（1，8）處的切線經過（3，0），

∴f^/（1）== −4，即3a−10+c= −4，∴3a+c=6  ②                （4分）

又∵f（x）在x=3 處有極值，∴f ^/（3）=0，即27a+c=30  ③           （5分）

聯立①、②、③解得a=1，c=3，d=9，  f（x）= x³−5x²+3x+9                (7分)

（2）f ^/（x）=3x²−10x+3=（3x−1）（x−3） 由f ^/（x）=0得x₁=，x₂=3       (8分)

當x∈（0，）時，f ^/（x）>0，f（x）單調遞增，∴f（x）>f（0）=9    

當x∈（，3）時，f ^/（x）<0，f（x）單調遞減，∴f（x）>f（3）=0．  (11分)

又∵f（3）=0，∴當m>3時，f（x）>0在（0，m）內不恒成立．

∴當且僅當m∈（0，3]時，f（x）>0在（0，m）內恒成立．

所以m取值范圍為（0，3] ．                    （14分）