Question

【題目】為了考察冰川的融化狀況，一支科考隊在某冰川山上相距8km的A、B兩點各建一個考察基地，視冰川面為平面形，以過A、B兩點的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系（圖4）．考察范圍到A、B兩點的距離之和不超過10km的區域．

（I）求考察區域邊界曲線的方程：

（II）如圖4所示，設線段是冰川的部分邊界線（不考慮其他邊界），當冰川融化時，邊界線沿與其垂直的方向朝考察區域平行移動，第一年移動0.2km，以后每年移動的距離為前一年的2倍．問：經過多長時間，點A恰好在冰川邊界線上？

Answer 1

【答案】（I）；（II）5年

【解析】

解：（I）設邊界曲線上點的坐標為，則由知，

點在以為焦點，長軸長為的橢圓上，此時短半軸長為，

所以考察區域邊界曲線(如圖)的方程為為.

（II）易知過點的直線方程為，因此點到直線的距離為

設經過年，點恰好在冰川邊界線上，則利用等比數列求和公式可得

，

解得，即經過5年，點恰好在冰川邊界線上.