Question

【題目】設、、…、為平面內的個點，在平面內的所有點中，若點到、、…、點的距離之和最小，則稱點為、、…、點的一個“中位點”，有下列命題：①、、三個點共線，在線段上，則是、、的中位點；②直角三角形斜邊的中點是該直線三角形三個頂點的中位點；③若四個點、、、共線，則它們的中位點存在且唯一；④梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點；其中的真命題是（ ）

A.②④B.①②C.①④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據中位點的定義以及空間中的點與線的位置關系等逐個證明或舉反例即可.

①若三個點共線,在線段上,根據兩點之間線段最短,

則是的中位點,正確；
②舉一個反例,如邊長為的直角三角形,此直角三角形的斜邊的中點到三個頂點的距離之和為,而直角頂點到三個頂點的距離之和為7,
∴直角三角形斜邊的中點不是該直角三角形三個頂點的中位點；故錯誤；
③若四個點共線,則它們的中位點是中間兩點連線段上的任意一個點,故它們的中位點存在但不唯一；故錯誤；
④如圖,在梯形中,對角線的交點是任意一點,則根據三角形兩邊之和大于第三邊得,
∴梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點．正確．

故①④正確.
故選：C