Question

【題目】已知函數， ．

（1）若曲線在處的切線的方程為，求實數的值；

（2）設，若對任意兩個不等的正數，都有恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

【答案】（1）a=﹣2；（2）[1，+∞）

【解析】試題分析:（1）由導數幾何意義得 （2）化簡不等式為 ,即為單調遞增函數,即 恒成立,參變分離得的最大值,即得實數的取值范圍

試題解析：解：（1）y=f（x）﹣g（x）=x2﹣alnx的導數為x﹣，

曲線y=f（x）﹣g（x）在x=1處的切線斜率為k=1﹣a，

由切線的方程為6x﹣2y﹣5=0，可得1﹣a=3，

解得a=﹣2；

（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx，

對任意兩個不等的正數x1，x2，都有＞2恒成立，即為

＞0，

令m（x）=h（x）﹣2x，可得m（x）在（0，+∞）遞增，

由m′（x）=h′（x）﹣2=x+﹣2≥0恒成立，

可得a≥x（2﹣x）的最大值，由x（2﹣x）=﹣（x﹣1）2+1可得最大值1，

則a≥1，即a的取值范圍是[1，+∞）