Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的方程為，過點且斜率為的直線與曲線相切于點．

（1）以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，求曲線的極坐標方程和點的極坐標；

（2）若點在曲線上，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) ；點的極坐標為或．(2)

【解析】

（1）由得得曲線的極坐標方程為，即，結合圖象可求得的極徑和角，可得的極坐標；

（2）不妨取，設，根據面積公式以及三角函數的性質可得最大值．

解（1）由得

故曲線的極坐標方程為，即，

如圖：當與圓相切時，，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴點的極坐標為或．

（2）由于圓、點、點均關于軸對稱，

故不論點A在何處，都不會影響面積最大值的取得.

不妨取，設，

則，

∴

，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，即時，面積取得最大值．