Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，設點F(0,p)（p＞0），直線l:y=-p，點P在直線l上移動，R是線段PF與x軸的交點, 過R、P分別作直線l₁、l₂，使l₁⊥PF，l₂⊥l ．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡C的方程；
（Ⅱ）在直線l上任取一點M做曲線C的兩條切線，設切點為A、B，求證：直線AB恒過一定點；
（Ⅲ）對（Ⅱ）求證：當直線MA,MF,MB的斜率存在時，直線MA,MF,MB的斜率的倒數成等差數列．

Answer 1

解：(Ⅰ)依題意知，點R是線段FP的中點，且RQ⊥FP，
∴RQ是線段FP的垂直平分線．   
∴|PQ|=|QF|．
故動點Q的軌跡C是以F為焦點，l為準線的拋物線，其方程為：．
（Ⅱ）設，兩切點為，
由得，求導得．
∴兩條切線方程為 ①  
②   
對于方程①，代入點M(m,-p)得，，
又∴
整理得：
同理對方程②有即x₁,x₂為方程的兩根
.∴ ③   
設直線AB的斜率為k，
所以直線AB的方程為，
展開得：，
代入③得：
∴直線恒過定點(0.p).   
(Ⅲ) 證明：由（Ⅱ）的結論，設（0.p）， ， 且有，
   ∴               
∴
=                                                  
又∵，
所以即直線MA,MF,MB的斜率倒數成等差數列.