Question

已知橢圓C₁：的離心率為，一個焦點坐標為．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）點N是橢圓的左頂點，點P是橢圓C₁上不同于點N的任意一點，連接NP并延長交橢圓右準線與點T，求的取值范圍；
（3）設曲線與y軸的交點為M，過M作兩條互相垂直的直線與曲線C₂、橢圓C₁相交于點A、D和B、E，（如圖），記△MAB、△MDE的面積分別是S₁，S₂，當時，求直線AB的方程．

Answer 1

解：（1）∵橢圓C₁：的離心率為，
一個焦點坐標為，
∴，∴a=2，c=，b=，
∴橢圓C₁的方程為：．
（2）∵N是橢圓C₁：的左頂點，點P是橢圓C₁上不同于點N的任意一點，
∴N（﹣2，0），橢圓右準線：x=，
設P（x，y），則=，
∵﹣2≤x≤2，∴=∈[，+∞）．
故的取值范圍是[，+∞）．
（3）設直線MA的斜率為k₁，則直線MA的方程為y=k₁x﹣1．
由，解得，或．
則點A的坐標為（k₁，k₁²﹣1）．
又直線MB的斜率為﹣，同理可得點B的坐標為（﹣）．
于是S₁=|MA||MB|=|k₁||﹣|=．
由，得（1+4k₁²）x²﹣8k₁x=0．
解得，或，
則點D的坐標為（，）．
又直線ME的斜率為﹣．
同理可得點E的坐標為（，）．
于是S₂=|MD||ME|=．
故=，
解得k₁²=2，或k₁²=．
又由點A，B的坐標得，k==k₁﹣．
所以k=±．
故滿足條件的直線存在，且有兩條，
其方程為y=x和y=﹣．