Question

【題目】已知橢圓 （a＞b＞0）長軸的兩頂點為A、B，左右焦點分別為F1、F2，焦距為2c且a=2c，過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3．

（1）求橢圓C的方程；

（2）在雙曲線 上取點Q（異于頂點），直線OQ與橢圓C交于點P，若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4，試證明：k1+k2+k3+k4為定值；

（3）在橢圓C外的拋物線K：y2=4x上取一點E，若EF1、EF2的斜率分別為，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2）0（3）

【解析】

（1）由橢圓的通徑公式及a=2c，即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程方程；

（2）根據直線的斜率公式，求得， ，由共線，得，即可求得結論；

（3）先用E點坐標表示，再根據函數單調性即可求得的取值范圍．

（1）由題意a=2c，橢圓的通徑為=3，

因為a2=b2+c2，所以a=2，b=，c=1，

∴橢圓的標準方程：；

（2）由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），F1（﹣1，0），F2（1，0），設P（x1，y1），

則，則=

設Q（x2，y2），則，則

則 ==，

又共線，∴，

（3）設，由，解得：，

由E在橢圓C外的拋物線K：y2=4x上一點，則，

則EF1 、EF2的斜率分別為，（）

則，（）

在（，4），（4，+∞）上分別單調遞增，

∴的取值范圍．