Question

【題目】在數列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+2n﹣1．
（1）求證：數列{an+n}為等比數列；
（2）記bn=an+（1﹣λ）n，且數列{bn}的前n項和為Tn ， 若T3為數列{Tn}中的最小項，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵an+1=3an+2n﹣1，

∴an+1+n+1=3（an+n）．

又a1=2，

∴an＞0，an+n＞0，

故 ，

∴{an+n}是以3為首項，公比為3的等比數列

（2）由（1）知道 ，bn=an+（1﹣λ）n，

∴ ．

∴ ．

若T3為數列{Tn}中的最小項，則對n∈N*有 恒成立，

即3n+1﹣81≥（n2+n﹣12）λ對n∈N*恒成立

1°當n=1時，有 ；

2°當n=2時，有T2≥T3λ≥9；

3°當n≥4時，n2+n﹣12=（n+4）（n﹣3）＞0恒成立，

∴ 對n≥4恒成立．

令 ，則 對n≥4恒成立，

∴ 在n≥4時為單調遞增數列．

∴λ≤f（4），即 ．

綜上，

【解析】（1）由an+1=3an+2n﹣1，整理得：an+1+n+1=3（an+n）．由an+n＞0， ，可知{an+n}是以3為首項，公比為3的等比數列；（2）由（1）求得數列{bn}通項公式及前n項和為Tn ， 由T3為數列{Tn}中的最小項，則對n∈N*有 恒成立，分類分別求得當n=1時和當n=2λ的取值范圍， 當n≥4時， ，利用做差法，根據函數的單調性，即可求得λ的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的數列的前n項和和數列的通項公式，需要了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系；如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．