Question

【題目】已知橢圓和圓，、為橢圓的左、右焦點，點在橢圓上，當直線與圓相切時，．

（I）求的方程；

（Ⅱ）直線與橢圓和圓都相切，切點分別為、，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）根據已知條件求得和的值，由此可得出橢圓的方程；

（Ⅱ）將直線的方程與橢圓的方程聯立，由可得出，并求出點的坐標，根據圓的切線的性質可得出直線的方程為，與直線的方程聯立可求得點的坐標，求得直線與軸的交點的坐標，利用三角形的面積公式以及基本不等式可求得面積的最大值．

（Ⅰ）由題可知．①

設，則由與圓相切時，得，即．②

將①②代入，解得，所以橢圓的方程為；

（Ⅱ）設點、，

將代入得．

由直線與橢圓相切得，即，且，

由直線與圓相切，設，與聯立得，

設直線與軸交于點，則．

所以的面積為，

當且僅當時等號成立，

所以的面積的最大值為．