Question

已知數列{a_n}中，a₁=0，a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0），b_n=a_n+2ⁿ，n=1，2，3，…．
（I）求證數列{

an

qn

}是等差數列；
（II）試比較b₁b₃與b₂²的大小；
（III）求正整數k，使得對于任意的正整數n，

bk

bk+1

≤

bn

bn+1

恒成立．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0）兩邊同除以qⁿ⁺¹構造

an

qn

，再由等差數列的定義證明．
（II）由b_n=a_n+2ⁿ及（I）求得b₁=2，b₂=q²+4，b₃=2q³+8，再構建b₁b₃與b₂²作差比較．
（III從k=1入手構建

bn

bn+1

-

b1

b2

=

b2bn-b1bn+1

b2bn+1

，進行探究．

解答：解：（I）∵a_n+1=a_n•q+qⁿ⁺¹（q＞0）
∴

an+1

qn+1

=

an•q+qn+1

qn+1

=

an

qn

+1，又

a1

q

=0，
即數列{

an

qn

}是以0為首項，1為公差的等差數列（3分）
且

an

qn

=n-1，a_n=（n-1）qⁿ（n=1，2，3）
（II）b_n=a_n+2ⁿ=（n-1）qⁿ+2ⁿ（4分）
∴b₁=2，b₂=q²+4，b₃=2q³+8（5分）
∴b₂²-b₁b₃=（q²+4）²-2（2q³+8）=（q⁴+8q²+16）-4q³-16=q⁴-4q³+8q²=q²（q²-4q+8）=q²[（q-2）²+4]＞0
∴b₂²＞b₁b₃（8分）

（III）∵b_n=（n-1）qⁿ+2ⁿ，n=1，2，3，…，∴b_n＞0
b₁=2，b₂=q²+4，b_n+1=nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹

bn

bn+1

-

b1

b2

=

b2bn-b1bn+1

b2bn+1

又b₂b_n-b₁b_n+1=（q²+4）[（n-1）qⁿ+2ⁿ]-2（nqⁿ⁺¹+2ⁿ⁺¹）
=[（q²+4）（n-1）-2nq]qⁿ+q²•2ⁿ
①當n=1時，b₂b_n-b₁b_n+1=0，即

b1

b2

=

bn

bn+1

②當n≥2時，∵q＞0，q²+4≥2•q•2=4q
∴（q²+4）（n-1）-2nq≥4（n-1）q-2nq=2（n-2）q≥0又q²•2ⁿ＞0
∴b₂b_n-b₁b_n+1＞0
由①②得

bn

bn+1

-

b1

b2

=

b2bn- b1bn+1

b2bn+1

≥0，即對于任意的正整數n，

b1

b2

≤

bn

bn+1

恒成立
故所求的正整數k=1．

點評：本題主要考查構造數列以及不等式和恒成立問題在數列中的應用．