Question

翰林匯如圖,△ABC和△DBC所在平面互相垂直 ,AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=120^o,                                  求               

    （1）AD與平面BCD的成角;

（2）AD與BC的成角;

（3）二面角A-BD-C的正切值.

Answer 1

（1）45°（2）90°（3）－2

解析:

（1）如圖，過A作AE⊥CB與CB的延長線交與E，連接DE，

∵平面ABC⊥平面DBC∴AE⊥平面DBC，

∴∠ADE即為AD與平面CBD所成的角。

∵AB＝BD，∠CBA=∠DBC，EB＝EB

∴∠ABE＝∠DBE，∴△DBE≌△ABE

∴DE⊥CB且DE＝AE

∴∠ADB＝45°∴AD與平面CBD

所成的角為45°

（2）由（1）知CB⊥平面ADE

∴AD⊥BC即AD與BC所成

的角為90°.

（3）過E作EM⊥BD于M

由（2）及三垂線定理知，AM⊥BD，

∴∠AME為二面角A－BD－C的平面角的補角.

∵AE＝BE＝2ME，∴tg∠AME＝2

故二面角A-BD-C的正切值為－2.