Question

（12分）如圖，設(shè)是橢圓的左焦點(diǎn)，直線為對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線，直線 與軸交于點(diǎn)，為橢圓的長(zhǎng)軸，已知，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：對(duì)于任意的割線，恒有；
（3）求三角形△ABF面積的最大值．

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)略   （Ⅲ）

（1）∵，∴，又∵，∴，
∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．---（4分）
（2）當(dāng)的斜率為0時(shí)，顯然=0，滿足題意，
當(dāng)的斜率不為0時(shí)，設(shè)方程為，
代入橢圓方程整理得：．
，，．----------------------------6分
則
 ，
而
∴，從而．
綜合可知：對(duì)于任意的割線，恒有．………------------------（8分）
（3），
即：，
當(dāng)且僅當(dāng)，
即（此時(shí)適合于的條件）取到等號(hào)．
∴三角形△ABF面積的最大值是．……--（12分）