Question

已知函數f（x）=x²+alnx-2（a＞0）
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線與直線y=x+2垂直，求函數y=f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞2（a-1）成立，試求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）記g（x）=f（x）+x-b（b∈R）．當a=1時，方程g（x）=0在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個不同的實根，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=x²+alnx-2（a＞0），知f（x）的定義域為（0，+∞）．f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，且知直線y=x+2的斜率為1．由此能求出f（x）的單調區(qū)間．
（ II） 由f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

，推導出當x=

2

a

時，函數f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．因為對任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，所以f(

2

a

)＞2(a-1)即可．由此能求出a的取值范圍．
（ III）依題意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則g′(x)=

x2+x-2

x2

．由此能推導出b的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=x²+alnx-2（a＞0），
∴函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
∵f′(x)=-

2

x2

+

a

x

，且知直線y=x+2的斜率為1．
∴f′(1)=-

2

12

+

a

1

=-1，解得a=1．
∴f(x)=

2

x

+lnx-2.f′(x)=

x-2

x2

．
由f'（x）＞0，解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．
所以f（x）的單調增區(qū)間是（2，+∞），單調減區(qū)間是（0，2）
（ II） f′(x)=-

2

x2

+

a

x

=

ax-2

x2

．
由f'（x）＞0，解得x＞

2

a

；由f'（x）＜0解得0＜x＜

2

a

．
所以f（x）在區(qū)間(

2

a

，+∞)上單調遞增，在區(qū)間(0，

2

a

)上單調遞減．
所以當x=

2

a

時，函數f（x）取得最小值，ymin=f(

2

a

)．
因為對任意的x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，
所以f(

2

a

)＞2(a-1)即可．
∴

2

2 a

+aln

2

a

-2＞2(a-1)．即aln

2

a

＞a，解得0＜a＜

2

e

．
所以a的取值范圍是(0，

2

e

)．
（ III）依題意得g(x)=

2

x

+lnx+x-2-b，則g′(x)=

x2+x-2

x2

．
由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．
所以函數g（x）在區(qū)間（0，1）為減函數，在區(qū)間（1，+∞）為增函數．
又因為方程g（x）=0在區(qū)間[e^-1，e]上有兩個不同的實根，
所以

g(e-1)≥0 g(e)≥0 g(1)＜0

，
解得1＜b≤

2

e

+e-1．
所以b的取值范圍是(1，

2

e

+e-1]．

點評：本題考查函數的單調區(qū)間的求法，考查實數的取值范圍的求法，考查推理論證能力，考查等價轉化思想，考查分類討論思想，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．