Question

設F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右兩個焦點．
（1）若橢圓C上的點A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）已知圓心在原點的圓具有性質：若M、N是圓上關于原點對稱的兩點，點P是圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．試對橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1寫出類似的性質，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意知2a=4，把點A（1，

3

2

）代入能推導出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上取關于原點對稱的兩點M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動點P，直線PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-

b2

a2

．
證明：設橢圓方程是

x2

A

+

y2

B

=1(A=a2，B=b2)，設M（m，n），則N（-m，-n），又設P（x，y），（x≠±m，），那么

m2

A

+

n2

B

=1且

x2

A

+

y2

B

=1，由此能夠推導出kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

=-

B

A

=-

b2

a2

．

解答：解：（1）由題意知，2a=4，∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把點A（1，

3

2

）代入，得

1

4

+

9 4

b2

=1，解得b²=3，c²=1，∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1，焦點坐標是F₁（-1，0），F₂（1，0）
（2）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上取關于原點對稱的兩點M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動點P，直線PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-

b2

a2

證明：設橢圓方程是

x2

A

+

y2

B

=1(A=a2，B=b2)，設M（m，n），則N（-m，-n），又設P（x，y），（x≠±m，），那么

m2

A

+

n2

B

=1①且

x2

A

+

y2

B

=1②
因為kPM•kPN=(

y-n

x-m

)•(

y+n

x+m

)=

y2-n2

x2-m2

，由①知：n2=B-

B

A

m2，由②y2=B-

B

A

x2，所以y2-n2=-

B

A

(x2-m2)，所以kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

=-

B

A

=-

b2

a2

點評：本題考查橢圓的性質及其應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的正確選用．