Question

【題目】已知函數， .

（1）求函數的極值；

（2）當時，若直線： 與曲線沒有公共點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當時，函數無極值；當時， 有極小值為，無極大值.

（2）.

【解析】試題分析：（1）求得，可分和兩種情況分類討論，得出函數的單調性，即可求得函數的極值；

（2）當時，把直線： 與曲線沒有公共點，等價于關于的方程在上沒有實數解，即關于的方程在上沒有實數解，即在上沒有實數解，令，利用導數求得函數的單調性與極值，即可求解實數的取值范圍.

試題解析：

（1）定義域為， .

①當時， ， 為上的增函數，所以函數無極值.

②當時，令，解得.

當， ， 在上單調遞減；

當， ， 在上單調遞增.

故在處取得極小值，且極小值為，無極小值.

綜上，當時，函數無極值；

當時， 有極小值為，無極大值.

（2）當時， ，

直線： 與曲線沒有公共點，等價于關于的方程

在上沒有實數解，即關于的方程在上沒有實數解，

即在上沒有實數解.

令，則有.令，解得，

當變化時， ， 的變化情況如下表：

且當時， ； 時， 的最大值為；當時， ，

從而的取值范圍為.

所以當時，方程無實數解，

解得的取值范圍是.