Question

（2009•泰安一模）已知雙曲線x²-2y²=2的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設(shè)D（

3

2

，0），過(guò)F₂且不垂直于坐標(biāo)軸的動(dòng)直線l交軌跡E于A、B兩點(diǎn)，若DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，利用橢圓定義，可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓，且該橢圓以F₁、F₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4，從而可求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，結(jié)合以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，利用向量知識(shí)，即可得到結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）雙曲線的方程可化為

x2

2

-y2=1，則|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

 
∴P點(diǎn)的軌跡E是以F₁、F₂為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸為4的橢圓         
由a=2，c=

3

，∴b=1
∴所求方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)l的方程為y=k(x-

3

)，則k≠0
代入橢圓方程可得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

8 3 k2

1+4k2

，
∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2

3

）=

-2 3 k

1+4k2

∵以DA、DB為鄰邊的平行四邊形為菱形，
∴（

DA

+

DB

）⊥

AB

∴（

DA

+

DB

）•

AB

=0
∴

8 3 k2

1+4k2

-

3

-

2 3 k2

1+4k2

=0
∴k=±

2

2

∴l(xiāng)的方程為y=±

2

2

(x-

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．