Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，求證：；

（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，不等式化為，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，從而證明不等式成立；

（2）方法1：不等式化為，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷，不等式化為，記，求出的最大值，即可得出的取值范圍．

方法2：討論時(shí)，，求得的取值范圍，再證明時(shí)，在上恒成立．

（1）當(dāng)時(shí)，，

要證明，即證明；

記，則；

當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

所以，即；

（2）方法1： 即，

令，令，得；

所以在上單調(diào)減，在單調(diào)增，

則，

即，可化為，

記，則，且；

再令，

當(dāng)時(shí)，，

，

由（1）可知，時(shí)成立，，，

由此，在上單調(diào)增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)減；

因此，故；

方法2：當(dāng)時(shí)，，由此

證明如下：當(dāng)時(shí)，在上，恒成立，

，同法1證明，，

；

所以在上，恒成立，故．