Question

設項數均為（）的數列、、前項的和分別為、、.已知，且集合=.

（1）已知，求數列的通項公式；

（2）若，求和的值，并寫出兩對符合題意的數列、；

（3）對于固定的，求證：符合條件的數列對（，）有偶數對.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）時，數列、可以為（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，時，數列對（，）不存在.（3）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）這實質是已知數列的前項和，要求通項公式的問題，利用關系來解決；

（2）注意到，從而，又，故可求出，，這里我們應用了整體思維的思想，而要寫出數列對（，），可通過列舉法寫出；（3）可通過構造法說明滿足題意和數列對是成對出現的，即對于數列對（，），構造新數列對，（），則數列對（，）也滿足題意，（要說明的是及=且數列與，與不相同（用反證法，若相同，則，又，則有均為奇數，矛盾）．

試題解析：（1）時，

時，，不適合該式

故，                        4分

（2）

又

得，=46，=26                                    8分

數列、可以為：

① 16,10,8,12；14,6,2,4       ② 14,6,10,16；12,2,4,8

③ 6,16,14,10；4,12,8,2       ④ 4,14,12,16；2,10,6,8

⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6       ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2             10分

（3）令，（）         12分

又=，得

=

所以，數列對（，）與（，）成對出現。         16分

假設數列與相同，則由及，得，，均為奇數，矛盾！

故，符合條件的數列對（，）有偶數對。                18分

考點：（1）數列的前項和與的關系；（2）整體思想與列舉法；（3）構造法．