Question

【題目】為迎接2016年“猴”年的到來(lái)，某電視臺(tái)舉辦猜獎(jiǎng)活動(dòng)，參與者需先后回答兩道選擇題，問(wèn)題A有三個(gè)選項(xiàng)，問(wèn)題B有四個(gè)選項(xiàng)，每題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，正確回答問(wèn)題A可獲獎(jiǎng)金1千元，正確回答問(wèn)題B可獲獎(jiǎng)金2千元．活動(dòng)規(guī)定：參與者可任意選擇回答問(wèn)題的順序，如果第一個(gè)問(wèn)題回答正確，則繼續(xù)答題，否則該參與者猜獎(jiǎng)活動(dòng)終止．假設(shè)某參與者在回答問(wèn)題前，選擇每道題的每個(gè)選項(xiàng)的機(jī)會(huì)是等可能的．
（Ⅰ）如果該參與者先回答問(wèn)題A，求其恰好獲得獎(jiǎng)金1千元的概率；
（Ⅱ）試確定哪種回答問(wèn)題的順序能使該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率P1= ，隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率P2= ．
設(shè)參與者先回答問(wèn)題A，且恰好獲得獎(jiǎng)金1千元為事件M，
則P（M）=P1（1﹣P2）= = ，
即參與者先回答問(wèn)題A，其恰好獲得獎(jiǎng)金1千元的概率為 ．
（Ⅱ）參與者回答問(wèn)題的順序有兩種，分別討論如下：
①先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B．參與者獲獎(jiǎng)金額ξ可取0，1000，3000，
則P（ξ=0）=1﹣P1= ，
P（ξ=1000）=P1（1﹣P2）= ，
P（ξ=3000）=P1P2= = ，
∴Eξ=0× +1000× +3000× =500．
②先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，參與者獲獎(jiǎng)金額η，可取0，2000，3000，
則P（η=0）=1﹣P2=1﹣ ，
P（η=2000）=（1﹣P1）P2= = ，
P（η=3000）=P2P1= ．
∴Eη=0× +2000× +3000× ≈583．
∴先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，能使該參與者獲獎(jiǎng)金額的期望值較大
【解析】（Ⅰ）隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題A的概率P1= ，隨機(jī)猜對(duì)問(wèn)題B的概率P2= ，利用概率的乘法公式可求參與者先回答問(wèn)題A，恰好獲得獎(jiǎng)金1千元的概率；（Ⅱ）參與者回答問(wèn)題的順序有兩種，先回答問(wèn)題A，再回答問(wèn)題B．先回答問(wèn)題B，再回答問(wèn)題A，做出兩種情況下的獲勝的期望，進(jìn)行比較，分類討論．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．