Question

據調查，湖南某地區有100萬從事傳統農業的農民，人均年收入3000元．為了增加農民的收入，當地政府積極引資建立各種加工企業，對當地的農產品進行深加工，同時吸收當地部分農民進入加工企業工作．據估計，如果有x（x＞0）萬人進入企業工作，那么剩下從事傳統農業的農民的人均年收入有望提高2x%，而進入企業工作的農民人均年收入為3000a元（a＞0為常數）．
（I）在建立加工企業后，要使該地區從事傳統農業的農民的年總收入不低于加工企業建立前的年總收入，求x的取值范圍；
（Ⅱ）在（I）的條件下，當地政府應安排多少萬農民進入加工企業工作，才能使這100萬農民的人均年收入達到最大？

Answer 1

分析：（I）先根據題意得出一個關于x的不等關系：（100-x）•3000•（1+2x%）≥100×3000，解此不等式即得x的取值范圍；
（II）設這100萬農民的人均年收入為y元，由題意得出函數y的解析式，下面分兩類討論：（1）若0＜25（a+1）≤50，（2）若25（a+1）＞50，分別求出它們的最大值即可．

解答：解：（I）據題意，（100-x）•3000•（1+2x%）≥100×3000，（2分）
即x²-50x≤0，解得0≤x≤50．（3分）
又x＞0，故x的取值范圍是（0，50]．（4分）
（II）設這100萬農民的人均年收入為y元，則
y=

(100-x)×3000×(1+2x%)+3000ax

100

=

-60x2+3000(a+1)x+300000

100

=-

3

5

[x-25（a+1）]²+3000+475（a+1）²（0＜x≤50）．（9分）
（1）若0＜25（a+1）≤50，即0＜a≤1，則當x=25（a+1）時，y取最大值；
（2）若25（a+1）＞50，即a＞1，則當x=50時，y取最大值．（11分）
答：當0＜a≤1時，安排25（a+1）萬人進入加工企業工作，當a＞1時，
安排50萬人進入企業工作，才能使這100萬人的人均年收入最大．（13分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用，屬于基礎題．解決實際問題通常有四個步驟：（1）閱讀理解，認真審題；（2）引進數學符號，建立數學模型；（3）利用數學的方法，得到數學結果；（4）轉譯成具體問題作出解答，其中關鍵是建立數學模型．